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Solução de EDPs

1, 25 Julho, 2008 in Comentário de conteúdo | Tags: , , | Leave a comment

Referências importantes:

CAMERON, I., HANGOS, K. Process modelling and model analysis (Process Systems Engineering). Academic Press, 2001. Este livro na Amazon. Este livro no 4shared (material com direitos autorais vigentes) — Cap. 8 – visão geral dos métodos numéricos

RICE, R. G., DO, D. D. Applied mathematics and modeling for chemical engineers. John Wiley, 1995. Cap. 1. — Este livro na Amazon. Este livro no 4shared (material com direitos autorais vigentes). Este livro na biblioteca da UFU: 66.0:51 R495a. — Métodos analíticos e numéricos. O capítulo 1 traz uma discussão boa acerca do papel das condições de contorno.

DAVIS, M. E. Numerical methods and modeling for chemical engineers. John Wiley & Sons, New York, NY, 1984. ISBN 0-471-88761-7. Gratuito e disponível em: http://resolver.caltech.edu/CaltechBook:1984.001 Texto clássico nos cursos de métodos numéricos em Engenharia Química.

Softwares:

Há uma enorme disponibilidades de softwares livres e gratuitos para resolver PDEs na internet. Talvez uma característica comum a todos os softwares para solução de PDEs, livres ou não, é a curva de aprendizado, que é mais lenta, pois cada problema deve ser colocado na sintaxe que o programa “entende”.

Exemplos - procurar no google usando as palavras-chave: open source pde solver ou free software pde solver

Alguns exemplos de software estão listados em AQUI. Outras dicas de sítios podem ser adicionadas na forma de comentário a esta postagem!

Forma geral das equações de um modelo a parâmetros distribuídos

1, 25 Julho, 2008 in Comentário de conteúdo | Tags: , , , | Leave a comment

FOCO: Modelos determinísticos, a parâmetros distribuídos, dinâmicos ou no estado estacionário, descrito por EDPs, condições iniciais e de contorno.

Modelos a parâmetros distribuídos, como seu nome sugere, incorpora variações espaciais dos estados dentro do volume de controle. Variações no tempo também podem ocorrer. Quanto à forma das equações resultantes, podem ser Equações Diferenciais Parciais (EDPs) parabólicas (forma geral) ou hiperbólicas (sem termos de difusão) ou EDPs elípticas (variação apenas no espaço ou estado estacionário).

\underbrace{\dfrac{\partial \hat{\Phi}}{\partial t}}=\underbrace{D\left(\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial z^2}\right)}-\underbrace{\left(\dfrac{\partial\hat{\Phi}\nu_x}{\partial x}+\dfrac{\partial\hat{\Phi}\nu_y}{\partial y}+\dfrac{\partial\hat{\Phi}\nu_z}{\partial z}\right)}+\underbrace{\hat{q}}\\ \mbox{I} \qquad \qquad \qquad \qquad\mbox{II} \qquad \qquad \qquad \qquad\quad\qquad \mbox{III} \qquad\qquad\quad\quad \mbox{IV}

Na qual:

I: variação com o tempo

II: variação devido à difusão (advinda da Lei de Fick)

III: variação por transporte, geralmente entrada e saída

IV: geração

Um aspecto importantíssimo em modelos a parâmetros distribuídos é a correta utilização das condições de contorno, que podem ser de vários tipos. Uma mudança sutil numa condição de contorno pode afetar drasticamente o resultado do modelo. Os tipos mais comuns são:

(a) problema de Dirichlet:

\Phi=f(x,y)

(b) problema de Neumann:

\dfrac{\partial \Phi}{\partial n}=g(x,y)

(c) problema de Robbins:

\alpha(x,y)\Phi + \beta(x,y)\dfrac{\partial \Phi}{\partial n}=\gamma(x,y)

Fonte: Hangos e Cameron (2001), pp. 170-1

A solução analítica ou numérica de uma EDP é influenciada tanto pela forma da EDP, quanto pelas condições de contorno!

Na solução numérica, os métodos mais comuns são:

(1) método das linhas: transformação do sistema de EDPs em um sistema de EDOs ou EADs de valor valor inicial (PVI) por discretização apenas das derivadas no espaço (no caso dinâmico) ou discretização em uma ou duas dimensões (problemas 2D e 3D) por diferenças finitas, colocação ortogonal etc, transformando cada EDP num sistema de EDOs, cuja dimensão depende da malha de discretização utilizada; as condições de contorno devem ser também discretizadas de modo adequado; se o modelo envolver também equações algébricas, ter-se-á como modelo final um sistema de EADs;

(2) discretização de todas as derivadas, resultando num sistema de equações algébricas, lineares ou não, dependendo da forma original do modelo e do método de discretização empregado; a solução envolve, portanto, um sistema de equações algébricas e no caso não linear, o processo de convergência pode ser bastante penoso.

Ver o Cap. 8 de Hangos e Cameron (2001) e a apostila de Scilab/Métodos Numéricos disponível no moodle.