Aulas: 31 de julho e 7 de agosto de 2008

Tema geral: Fundamentos da modelagem matemática II: balanços microscópicos 1 e 2

Objetivo 1:

1. Ler atentamente o Capítulo 7 e superficialmente o Capítulo 8 de Hangos e Cameron (2001), destacando:
   1. O formato matemático das equações resultantes de balanços microscópicos;
   2. As equações de conservação utilizadas;
   3. A influência do sistema de coordenadas utilizado na forma das equações;
   4. A influência das condições de contorno e iniciais na resposta obtida;
2. No blogue individual, responda às seguintes “Review Questions”: Q7.1, Q7.3, Q7.5, Q7.6. Use exemplos da literatura (processos, modelos, figuras) para ilustrar os diversos casos envolvidos.

Objetivo 2: Mostrar alguns modelos adicionais obtidos por balanços macroscópicos

• Consulte a literatura (livros, artigos etc) e apresente alguns modelos de interesse da Engenharia Química obtidos por balanços microscópicos. Na apresentação, procure utilizar o esquema do processo modelado, o modelo em si, com sua análise e resultados obtidos/esperados com o modelo. Os exercícios do Capítulo 8 do Hangos e Cameron (2001) e o Rice e Do (1995) e o Davis (1984) trazem inúmeros exemplos, nos últimos dois casos, com a solução. OBS: Veja no final desta postagem, sugestões de bibliografia.

Objetivo 3: Simular um modelo já disponível

• Simular no Scilab o exemplo de EDP que está na apostila de Scilab (moodle). Discuta o que está sendo modelado e faça algumas alterações no modelo, adequadas e explore os resultados.

Bibliografia útil:

Idem a da aula anterior.

INCROPERA, F. P., DeWITT, D. P. Transferência de calor e de massa. LTC, 2002. Esta referência traz uma boa discussão acerca das diversas condições de contorno e métodos numéricos de solução das EDPs, com dois softwares (IHT e FEHT) no CD-ROM (tanto o livro, quanto o CD-ROM estão disponíveis na biblioteca da UFU).
Versão original.

Solução de EDPs

Referências importantes:

CAMERON, I., HANGOS, K. Process modelling and model analysis (Process Systems Engineering). Academic Press, 2001. Este livro na Amazon. Este livro no 4shared (material com direitos autorais vigentes) — Cap. 8 – visão geral dos métodos numéricos

RICE, R. G., DO, D. D. Applied mathematics and modeling for chemical engineers. John Wiley, 1995. Cap. 1. — Este livro na Amazon. Este livro no 4shared (material com direitos autorais vigentes). Este livro na biblioteca da UFU: 66.0:51 R495a. — Métodos analíticos e numéricos. O capítulo 1 traz uma discussão boa acerca do papel das condições de contorno.

DAVIS, M. E. Numerical methods and modeling for chemical engineers. John Wiley & Sons, New York, NY, 1984. ISBN 0-471-88761-7. Gratuito e disponível em: http://resolver.caltech.edu/CaltechBook:1984.001 Texto clássico nos cursos de métodos numéricos em Engenharia Química.

Softwares:

Há uma enorme disponibilidades de softwares livres e gratuitos para resolver PDEs na internet. Talvez uma característica comum a todos os softwares para solução de PDEs, livres ou não, é a curva de aprendizado, que é mais lenta, pois cada problema deve ser colocado na sintaxe que o programa “entende”.

Exemplos - procurar no google usando as palavras-chave: open source pde solver ou free software pde solver

Alguns exemplos de software estão listados em AQUI. Outras dicas de sítios podem ser adicionadas na forma de comentário a esta postagem!

Forma geral das equações de um modelo a parâmetros distribuídos

FOCO: Modelos determinísticos, a parâmetros distribuídos, dinâmicos ou no estado estacionário, descrito por EDPs, condições iniciais e de contorno.

Modelos a parâmetros distribuídos, como seu nome sugere, incorpora variações espaciais dos estados dentro do volume de controle. Variações no tempo também podem ocorrer. Quanto à forma das equações resultantes, podem ser Equações Diferenciais Parciais (EDPs) parabólicas (forma geral) ou hiperbólicas (sem termos de difusão) ou EDPs elípticas (variação apenas no espaço ou estado estacionário).

Na qual:

I: variação com o tempo

II: variação devido à difusão (advinda da Lei de Fick)

III: variação por transporte, geralmente entrada e saída

IV: geração

Um aspecto importantíssimo em modelos a parâmetros distribuídos é a correta utilização das condições de contorno, que podem ser de vários tipos. Uma mudança sutil numa condição de contorno pode afetar drasticamente o resultado do modelo. Os tipos mais comuns são:

(a) problema de Dirichlet:

(b) problema de Neumann:

(c) problema de Robbins:

Fonte: Hangos e Cameron (2001), pp. 170-1

A solução analítica ou numérica de uma EDP é influenciada tanto pela forma da EDP, quanto pelas condições de contorno!

Na solução numérica, os métodos mais comuns são:

(1) método das linhas: transformação do sistema de EDPs em um sistema de EDOs ou EADs de valor valor inicial (PVI) por discretização apenas das derivadas no espaço (no caso dinâmico) ou discretização em uma ou duas dimensões (problemas 2D e 3D) por diferenças finitas, colocação ortogonal etc, transformando cada EDP num sistema de EDOs, cuja dimensão depende da malha de discretização utilizada; as condições de contorno devem ser também discretizadas de modo adequado; se o modelo envolver também equações algébricas, ter-se-á como modelo final um sistema de EADs;

(2) discretização de todas as derivadas, resultando num sistema de equações algébricas, lineares ou não, dependendo da forma original do modelo e do método de discretização empregado; a solução envolve, portanto, um sistema de equações algébricas e no caso não linear, o processo de convergência pode ser bastante penoso.

Ver o Cap. 8 de Hangos e Cameron (2001) e a apostila de Scilab/Métodos Numéricos disponível no moodle.

Aula: 24 de julho de 2008

Tema geral: Fundamentos da modelagem matemática I: balanços macroscópicos 2

Objetivo 1: Mostrar alguns modelos adicionais obtidos por balanços macroscópicos

• Consulte a literatura (livros, artigos etc) e apresente alguns modelos de interesse da Engenharia Química obtidos por balanços macroscópicos. Na apresentação, procure utilizar o esquema do processo modelado, o modelo em si, com sua análise (PVI, PVC, EDO, EAD, etc) e resultados obtidos/esperados com o modelo. OBS: Veja no final desta postagem, sugestões de bibliografia.

Objetivo 2: Simular um modelo já disponível

• Simular no Scilab o modelo do tanque aberto descrito no exercício A6.6 (e também no Capítulo 5), usando a função dassl para resolver o sistema de EADs, de Hangos e Cameron (2001), não esquecendo de fazer uma análise do índice diferencial antes. OBS: ver exemplos na apostila de Scilab, com seus respectivos códigos, que estão no moodle.

Objetivo 3: Desenvolver um modelo utilizando balanços macroscópicos

• Resolver os exercícios A5.8 e A6.10 de Hangos e Cameron (2001) – etapas: desenvolvimento do modelo; análise do modelo; simulação, usando o Scilab. OBS: Este item pode ser resolvido em duplas.

Bibliografia útil:

CAMERON, I., HANGOS, K. Process modelling and model analysis (Process Systems Engineering). Academic Press, 2001. Este livro na Amazon. Este livro no 4shared (material com direitos autorais vigentes).

RICE, R. G., DO, D. D. Applied mathematics and modeling for chemical engineers. John Wiley, 1995. Cap. 1. — Este livro na Amazon. Este livro no 4shared (material com direitos autorais vigentes). Este livro na biblioteca da UFU: 66.0:51 R495a.

LUYBEN, W. L. Process modeling, simulation and control for chemical engineers. 2a. ed., McGraw-Hill, 1990. Cap. 2 e 3. — Este livro na Amazon. Este livro no 4shared (material com direitos autorais vigentes). Este livro na biblioteca da UFU: 66.012 L978p /2.ed.

ELNASHAIE, S. S. E. H. GARHYAN, P. Conservation Equations and Modeling of Chemical and Biochemical Processes. CRC, 2003. — Este livro na Amazon. Este livro no 4shared (material com direitos autorais vigentes).

DAVIS, M. E. Numerical methods and modeling for chemical engineers. John Wiley & Sons, New York, NY, 1984. ISBN 0-471-88761-7. Gratuito e disponível em: http://resolver.caltech.edu/CaltechBook:1984.001

Para outros títulos gratuitos, visite:
http://caltechbook.library.caltech.edu/view/subjects/

Forma geral das equações de um modelo a parâmetros concentrados

Classificação: Modelo dinâmico, descrito por equações algébrico-diferenciais (EAD), onde:

: sistema de equações diferenciais ordinárias (EDOs) independentes, com condição inicial (t = 0), de dimensão

: sistema de equações algébricas (EAs) independentes , de dimensão

: condição inicial (t=0)

= vetor das variáveis diferenciais ou estados (), de dimensão

= vetor das variáveis algébricas (variáveis auxiliares) (), de dimensão

Grau de liberdade:

Se deve ser o número de variáveis especificadas ou variáveis de projeto.

Novo supercomputador brasileiro e os modelos matemáticos

Na reportagem Novo supercomputador do Inpe tentará prever futuro do aquecimento no Brasil da Folha de São Paulo de 15 de Julho de 2008, lê-se:

“Os modelos globais são representações matemáticas da atmosfera, dos oceanos, das regiões polares, do ciclo do carbono, da vegetação”, explica. “Simulamos o aumento da quantidade de gás carbônico na atmosfera e o modelo nos diz o que acontecerá com o clima.”
Compreender e ajustar todas as peças do novo modelo deve levar quatro anos. “Não vamos usar no modelo nada que seja uma “caixa preta”, só acoplaremos as peças sobre as quais tivermos total domínio.”

As falas são de Carlos Nobre, climatologista do Inpe.

Ano de início de operação: 2009

Custo: R$ 48 milhões

Capacidade: 15 teraflops – 15 trilhões de operações matemáticas por segundo (50 x a capacidade atual do INPE)

Capacidade de predição dos modelos atuais de mudanças de clima no Brasil: 6 meses a frente

Novo horizonte de predição pretendido: 30 a 50 anos!!!

Gustavo Tilio/SBPC/Cortesia

O ministro Sergio Resende anuncia a aquisição do novo supercomputador na reunião da SBPC

Modelagem dos Fenômenos de Transporte como marco na Engª Química

Fenômenos de Transporte - Bird, R. Byron/Stewart, Warren E./Lightfoot, Edwin N., 2a. ed., 2004

A publicação da obra Transport Phenomena (Fenômenos de Transporte), em 1960, foi um marco notável em termos de matematização da Engenharia Química.

Ao longo do século XX, principalmente nos EUA, a Engenharia Química foi “caminhando” da Química para a Física. No início, ainda muito centrada na Química Industrial, as Operações Unitárias (OP) e as Tecnologias ocupavam um papel central e os princípios, os fenômenos, eram ensinados quase que como apêndices, extensões, para a compreensão das ditas OP.

A obra inovadora do Bird e colaboradores trouxe um tratamento unificado, “independente” das OPs e com uma abordagem matemática dos fundamentos intrínsecos de todos os fenômenos de trasporte (momento, energia e massa) que permitiu um grau de entendimento e predição daquilo que ocorre na intimidade de OPs, tais como bombeamento, troca de calor, difusão em um catalisador, sem precedentes. E, ao abordar tais fenômenos, utilizando-se amplamente da descrição matemática (o que era comum na Física, por exemplo), plantou as primeiras sementes para o que se constituiria depois uma grande e expressiva área atual da Engenharia Química, a Modelagem e Simulação de Processos. Claro que o advento dos computadores pessoais e o desenvolvimento de métodos numéricos adequados também tiveram uma ampla importância, mas isto será discutido em outra postagem.

Então, vida longa ao Transport Phenomena (cuja 2ª edição, de 2001, foi recentemente traduzida para o Português). Há também uma 2ª edição revisada, somente em Inglês, de 2007.

Eis algumas “curiosidades” relativas a este livro:

“Transport Phenomena contains many instances of hidden messages and other word play. For example, the first letters of each sentence of the Preface spell out “This book is dedicated to O. A. Hougen.” The first letters of each paragraph in the Postface spell out “On Wisconsin”. In the first printing, in Fig. 9.L (p. 305) safely outside the furnace wall is typeset “Bird”.” Fonte: Wikipedia

(mais) Frases soltas, que devem permanecer soltas

“A coisa mais imcompreensível acerca do mundo é que ele é compreensível”

Albert Einstein

“O livro do universo está escrito em linguagem matemática”

Galileu Galilei

O mundo “cabe” numa equação matemática?

Não é de hoje que tentamos descrever o mundo que nos cerca, o universo, através dos números. Na tradição ocidental, os pitagóricos parece ter sido os pioneiros, acreditando que tudo na natureza poderia ser descrito por números (1, 2, 3,…), influenciando profundamente a filosofia platônica. Tal crença entra em crise com a descoberta dos números irracionais, ou seja, grandezas numéricas, como raiz quadrada de dois, que não pode ser expressa com um número finito de algarismos. E, não se pode dizer que tais números, os irracionais, são criação da mente humana, pois aparecem “naturalmente” ao mensurarmos a diagonal de um quadrado, o diâmetro de uma circunferência etc.

Mais recentemente,  estamos acompanhando os debates acerca das mudanças climáticas. Grande parte das projeções futuras a respeito do clima, aumento de nível dos oceanos etc, provém da resolução de modelos matemáticos para descrever a temperatura ao longo do tempo, como o derretimento das geleiras afetam o nível dos oceanos e assim por diante.

A física relativística de Einstein apresenta uma descrição do universo macroscópico descrita por leis, expressas de rigorosas equações matemáticas. A cada dia que se passa, as “previsões” obtidas a partir da resolução das equações são confirmadas (veja uma das mais recentes).

Então, será a matemática a linguagem que o criador utilizou para criar o Universo ou ela é apenas uma criação “genial” da mente humana? Seria uma “descoberta” da Constituição que rege os Cosmos (e também o Caos, pois mesmo este é regido por leis matemáticas, como descobrimos nas décadas recentes), daí sua beleza e exatidão incomparáveis?

Aliás, nosso modelo de Ciência que foi implementado primeiramente nas Ciências Naturais (Física, Química, Biologia, …) e depois estendido à outras áreas (Ciências Sociais, Econômicas, …) depende em maior ou menor grau da utilização da linguagem matemática. É possível uma Ciência, sem a matemática?

Aula: 17 de julho de 2008

Tema geral: Fundamentos da modelagem matemática I: balanços macroscópicos 1

1. Ler atentamente o Capítulo 5 e superficialmente o Capítulo 6 de Hangos e Cameron (2001), destacando:
   1. O formato matemático das equações resultantes de balanços macroscópicos;
   2. As equações de conservação utilizadas;
   3. Forma adimensional das equações de balanço (vantagens e desvantagens);
   4. Análise de modelos a parâmetros concentrados (efeito da escolha das variáveis especificadas no índice diferencial do modelo; estabilidade e rigidez numérica – stiffness);
   5. Visão geral dos métodos analíticos e numéricos de solução de equações que compõem os modelos a parâmetros concentrados;
2. No blogue individual, responda às seguintes “Review Questions”: Q5.3, Q5.4, Q5.5, Q5.7, Q5.9, Q5.11. Use exemplos da literatura (processos, modelos, figuras) para ilustrar os diversos casos envolvidos em Q5.9 e Q5.11.
3. Evitar na apresentação usar somente texto: enriquecer as informações com figuras, equações etc, obtidas inclusive de outras fontes. Não esqueça de citar a fonte, junto com a figura ou texto.

Bibliografia útil:
CAMERON, I., HANGOS, K. Process Modelling and Model Analysis (Process Systems Engineering). Academic Press, 2001.

Este livro na Amazon.

Este livro no 4shared (material com direitos autorais).